WonderLand

　あなたは抽選によって選ばれた幸運な当選者です。
　しかし、それだけではほしい賞品にたどり着くはできません。本当に賞品獲得にふさわしいかは、さらに運が試されているところです。

　司会者があなたの目の前に、A、B、C、Dという４つの箱を並べました。このなかに１つだけ「当たりくじ」が入っていると説明してくれましたが、外観からはどれが当たりかを判断することができません。自由に１つだけ選んで良いと言われたあなたは、運を天に任せてAを指した、と、まず仮定しましょう。
　ここで、箱の中身を事前に見ていた司会者が、親切にもヒントをくれました。４択ではあまりに確率が悪いから、残ったB、C、Dのなかから１つだけ中身をお見せしましょう。と言いながら、司会者がDの箱を開けて見せてくれました。当然ながら、Dの箱には「当たりくじ」は入っていません（それはそうでしょう、「当たり」を見せたらゲームになりませんね）。

　さあ、変えるならこれが最後のチャンスです。
　最初に選んだAのままで良いでしょうか？それともBかCかに変えますか？

　これは、昔に見た映画のワンシーンです。
　たぶん有名な映画ではなく、残念ながらタイトルも後のストーリーも失念してしまいました。細かいシチュエーションも多少違うかも知れませんが、大まかな設定は以上のようなものです。


　論点を明確にするために、ここでゲームのルールを次のように若干変えたいと思います。

・４つの箱のなかの１つだけに１００ドルが入っていて、後の箱は空です。
・ゲームを参加するためには参加費として３５ドルを支払う必要があります。
・司会者はどこに１００ドルが入っているかを知っています。
・ゲームの参加者がまず１つの箱を選びますが、選ばれた箱が「当たり」かどうかを示さずに、司会者は残った３つの箱のなかから、中身が「空」の箱を１つだけ開けて見せてくれました。

　設問は以下の２つです：
(1) 最初選んだ箱をやめて、選び直したほうが確率的に当たりやすいか？
(2) このゲームは参加者にとって有利なものでしょうか？（すなわち、何回も繰り返し参加できるなら、確率的に儲かりますか？）


　さあ、Aのままで良いでしょうか？それともBかCかに変えますか？

　映画の主人公はあっさりと、「では、Bに変更」と答えました。
　理屈は、以下の通りです：

　最初は４択問題だったので、適当に選んだAが「当たり」である確率は四分の一、つまり 25％です。
　B、C、Dの中に「当たり」がある確率は残りの75％ですが、Dは後に「はずれ」であることが確定したので、BとCが「当たり」である確率はそれぞれ75％の半分、すなわち 37.5％になる計算です。
　BかCかは確率に違いはないが、いずれにしてもAより高いので、BかCに変えるのは当然、というのがその説明です。


　ということで、設問(1)の答えは、Yesということになりましょう。

　設問(2)についても、１つだけ可能性を取り除いてくれたので、Dを除いた３択問題で、期待値は三分の一の約３３ドルになり、参加費が３５ドルでは計算上割が合わないと思えてしまいがちです。
　しかし、上の理屈だと、BとCの期待値は３７．５ドルであり、数をこなせば、確率的には参加者が儲かる計算です。

　この答え、感覚的に、納得できますか？